#1690. C++-数学-取模(取余)运算

C++-数学-取模(取余)运算

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C++-数学-取模(取余)运算

取模运算是求两个数相除的余数。 取模运算(Modulo Operation)和取余运算(Remainder Operation)两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。 模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用,奇偶数的判别到素数的判别,从模幂运算到最大公约数的求法,从孙子问题到凯撒密码问题,无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍,但多数都是以纯理论为主,对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。

对于整型数a,b来说,取模运算或者求余运算的方法都是:

1.求整数商: c = [a/b];

2.计算模或者余数: r = a - c*b.

求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时,向0 方向舍入(fix()函数);而取模运算在计算c的值时,向负无穷方向舍入(floor()函数)。

例1.计算:-7 Mod 4

那么:a = -7;b = 4;

第一步:求整数商c:

①进行求模运算时:c = [a/b] = -7 / 4 = -2(向负无穷方向舍入),

②进行求余运算时:c = [a/b] = -7 / 4 = -1(向0方向舍入);

第二步:计算模和余数的公式相同,但因c的值不同,

①求模时:r = a - c*b =-7 - (-2)*4 = 1,

②求余时:r = a - c*b = -7 - (-1)*4 =-3。

例2.计算:7 Mod 4

那么:a = 7;b = 4

第一步:求整数商c:

①进行求模运算c = [a/b] = 7 / 4 = 1

②进行求余运算c = [a/b] = 7 / 4 = 1

第二步:计算模和余数的公式相同

①求模时:r = a - c*b =7 - (1)*4 = 3,

②求余时:r = a - c*b = 7 - (1)*4 =3。

归纳:当a和b正负号一致时,求模运算和求余运算所得的c的值一致,因此结果一致。

正负号不一致时,结果不一样。

另外各个环境下%运算符的含义不同,比如c/c++,java 为取余,而python则为取模。

补充:

7 mod 4 = 3(商 = 1 或 2,1<2,取商=1)

-7 mod 4 = 1(商 = -1 或 -2,-2<-1,取商=-2)

7 mod -4 = -1(商 = -1或-2,-2<-1,取商=-2)

-7 mod -4 = -3(商 = 1或2,1<2,取商=1)

这里模是4,取模其实全称应该是取模数的余数,或取模余。

增加补充内容(以上五行)后,被修改商值,但是括号内容不变,出现奇怪矛盾。

在python下 % 运算符代表取模,如要修改,请先用python做

-7 % 4

运算,或其它语言做取模运算验证,理解后再动手。

Format

Input

Output

Samples



Limitation

1s, 1024KiB for each test case.